컴퓨터를 이용한 3차원표현

3차원 물체의 Modeling, Rendering의 기초

1. 모델링(Modeling)

(모델링과 렌더링의 예)

수치나 기타 데이타표시에 의해 수학적인 3차원형태를 만드는 것을 모델링이라고 한다. 모델링 수법은 형태모델링의 사용목적이나, 구하고자 하는 형태의 정도에 따라 다르다. 컴퓨터의 도입으로 이제까지와는 다른 방법의 모델링법이 만들어졌고 표현하기 곤란한 부분 혹은 형태까지도 모델링이 가능하게 되었다. 컴퓨터에 의한 모델링은 아래의 다양한 방법으로 구현 될 수 있다.

2. 렌더링(Rendering)

커머셜필름(CF)이나 영화에 볼수있는 CG(컴퓨터그래픽)는 상당히 리얼한 질감 표현이 되고 있는 것을 볼수있다. 이것은 물체의 표면특성이나 재질감, 조명의 상태가 수학적인 모델로서 이상적인 조건으로 계산된다. 이것에 의해 리얼한 질감이 표현 되는 것이다. 이와 같이 컴퓨터의 계산에 의해 화상을 만드는 것을 렌더링이라고 한다. 또한 모델링에의 만들어진 형태에 질감을 입히는 것이 렌더링이다.

점, 선, 면, 입체(오브젝트)의 컴퓨터그래픽을 이용한 표현 및 좌표체계

조형물을 구성하는 조형 요소는일반적으로 "점, 선, 면, 입체"로 나눌수 있고 그 형태를 수치로 기술할 수가 있다. 수치는 무엇을 나타낼까를 결정하는 값에 의미가 있지만 여기서는 2가지 의미가 있다. 그 하나는 양(量)을 나타내며 좌표값을 실수로 나타낸다. 그리고 또 하나는 정수를 이용해서 도형요소의 이름이나 도형의 연결 순서를 나타낸다.

1. 점(Dot, Pixel, Point)

그래픽디스플레이와 같은 2차원 표시장치에 점을 표시할 경우 그 화소의 위치를 나타내는 2개 묶음의 정수를 지정한다. 일반적으로 점의 위치는 교차좌표계에 (x, y)와 같이 나타낸다. 이것은 원점(原点)이라고 불리는 기준점을 통해 종(Y방향)과 횡(X방향)에 교차하는 좌표계를 생각할 수 있다. 원점에서 X방향의 거리(x)와 Y방향의 거리(y)로 나타낸다.
극좌표계에서는 2차원의 점은 기준점(極)에서 거리(d)와 기준축의 각도(r)로 나타낼수 있다. 기준축을 X축이라고 하면 (d, r)의 식(式)을 이용(x, y)로 변환 할 수 있다.

2. 선(Line)

직선은 2개의 단점(端点)의 좌표치를 지정하여 기술할수 있다. 단점은 P0(x0, y0), P1(x1, y1)라고 하면 직선의 방정식은

이다. 그러나 이대로는 프로그래밍적이지 않다. 프로그래밍에서는 매개변수(媒介變數)에 의해 X와 Y의 값이 결정되게 식을 이용한다. 이와 같은 식을 "파라메트릭"한 표현이라고 한다.
점 Po, P1 간의 직선상의 점을 P(x, y)라고 하면 다음과 같이 된다.

여기서 t의 값을 0에서 1까지 조금씩 증분시켜 나가면 증분에 따라 직선상의 점이 결정되어 진다. 프로그램에서는 t의 값을 계산하며 루프(반복)시키면 된다. 이 방법은 선이 끊킨 점선이 될 수가 있다. 이 경우는 t의 증분값을 작게 적용시켜 주면 된다.

3. 면(Plane, Polygon)

평면은 정점(頂点)의 연결로 만들어지는 다각형평면(polygon)으로 취급되는 경우가 많다. 곡면은 작은 평면이 연결되어 만들어지는 것은 선(線)과 마찬가지 이다.
3차원 공간내에서 평면은 앞(表)과 뒤(裏)가 있다. 이러한 면(面)의 앞과 뒤는 구별하여 사용하지 않으면 안된다. 이것은 앞과 뒤의 평면이 법선(Vect)의 방향이 반대인것으로 구별이 된다. 면(面)의 법선은 면의 방정식을 구하므로써 알게 된다. 평면의 방정식을 생각해보면, 평면은 3점이상의 위치를 알면 정할수 있다. 이 세점을 P0(x0,y0,z0), P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) 라고 하면 평면의 방정식은

A, B, C, D의 값을 행렬식으로 나타내면,

A= 1 y0 z0 1 y1 z1 1 y2 z2 , B= x0 1 z0 x1 1 z1 x2 1 z2 , C= x0 y0 1 x1 y1 1 x2 y2 1 , D= - x0 y0 z0 x1 y1 z1 x2 y2 z2

따라서,
A = (y1z2 - y2z1) - y0(z2 - z1) + z0(y2 - y1)
B = x0(z2 - z1) - (x1z2 - x2z1) + z0(x1-x2)
C = x0(y1 - y2) - y0(x1 - x2) + (x1y2 - x2y1)
D = -x0(y1z2 - y2z1) + y0(x1z2 - x2z1) - z0(x1y2 - x2y1)
이다.

일반적으로 면은 앞면에서 보아 반시계 방향 순으로 정점을 정한다.

4. 입체(Object)

컴퓨터로서 입체의 표현은 면과 마찬가지로 복수개(4개이상)의 면이 모여 면을 형성한다. 3차원 형태를 기술할때는 주변의 공간의 경계를 폴리곤(Polygon)으로 형성하여 나타내는 방법이 있다. 이것을 B-reps라고 한다. 단, 이방법은 기본적으로 곡면을 표현 할수 없기에 곡면은 작은 폴리곤으로 분해해서 나타내지 않으면 안되기에 곡면상태에 따라 만들어지는 데이타의 양이 상당히 많아 지는 단점이 있다.
이것 이외에도 입체 혹은 곡면을 표시하기 위해 스페이스모델(Surface)에 사용돠는 쿤즈패치(Coons), 베지에곡면, B스프라인곡면이 있으며, 솔리드모델(Solid)의 CGS(Constructive Solid Geometry), 프리미티브(Primitive)등이 있다.

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